Funkcja Cobba-Douglasa to jedno z najczęstszych zagadnień na egzaminie wstępnym na SGH! Zapraszamy do lektury naszego artykułu, który ma na celu wytłumaczyć to trudne zagadnienie!
Sprawdzian kwalifikacyjny na studia magisterskie na SGH (sprawdzian wiedzy o gospodarce) w roku akademickim 2025/2026 składać się będzie z trzech modułów:
- językowo-ogólnego (język obcy, mikroekonomia, makroekonomia);
- ilościowego (matematyka, ekonometria, statystyka);
- jakościowego (zarządzanie i marketing, finanse, integracja europejska).
Każdy z kandydatów zobowiązany jest przystąpić do części ogólnej oraz jednej z dwóch pozostałych – w zależności od kierunku, na który się rekrutuje.
Sprawdzian wiedzy o gospodarce co roku prezentuje wysoki poziom trudności, stanowiąc skuteczne sito selekcji. Wśród pytań pojawiają się zarówno niuansowe zadania teoretyczne, jak i skomplikowane polecenia obliczeniowe. Żeby pomóc Wam odpowiednio przygotować się do nauki przygotowaliśmy serię artykułów, które stanowią opis najważniejszych zagadnień wchodzących w skład poszczególnych modułów. Cykl ten jest również prezentacją przykładowych wykresów, obliczeń czy wyjaśnień, które wchodzą w skład pełnego kursu przygotowującego do egzaminu wstępnego.
Dokładny opis kursu znajdziesz w dedykowanej zakładce na stronie internetowej:
https://edufactory.pl/egzaminy-wstepne/egzaminsgh/
Funkcja Cobba-Douglasa – rys historyczny
Funkcja Cobba-Douglasa to jedna z najbardziej popularnych funkcji produkcji, które wykorzystuje się we współczesnej ekonomii. Jak każda tego typu zależność matematyczna – oferuje ona przedstawienie zależności między nakładami czynników produkcji, a efektem w postaci wytworzonych dóbr i usług.
Została sformułowana przez Knuta Wicksella i przetestowana na danych statystycznych przez Paula Douglasa i Charlesa Cobba w 1928.
Funkcja Cobba-Douglasa – teoria
Zanim przejdziemy do rozwiązania przykładowego zadania, przedstawimy krótkie podstawy teoretyczne.
Wzór ogólny funkcji Cobba-Douglasa prezentuje się następująco:
Q = a K^{\alpha} L^{\beta}gdzie:
- Q – produkcja całkowita
- K – nakład kapitału
- L – nakład pracy
- 𝜶 – elastyczność produkcji względem kapitału
- β – elastyczność produkcji względem pracy
- a – stała
Elastyczność produkcji jest to oczekiwany względny przyrost produkcji (np. w procentach) spowodowany jednostkowym względnym przyrostem określonego czynnika produkcji (np. o 1%) przy założeniu, że pozostałe czynniki produkcji nie zmieniają się.
Zatem:
- dla 𝜶 =0,6 gdy %∆K=10% to %∆Q=6%
- dla β=1,1 gdy %∆L=20% to %∆Q=22%
Parametry 𝜶 i 𝜷 informują także o efektach skali, a więc o tym jak zmienia się wielkość produkcji, jeżeli zwiększy się nakład obuczynników produkcji o tę samą wielkość.
Jeżeli funkcja ma:
- stałe efekty skali, to: 𝜶 + 𝜷 = 1
- rosnące efekty skali, to: 𝜶 + 𝜷 > 1
- malejące efekty skali, to: 𝜶 + 𝜷 < 1
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest przykładem funkcji dwóch zmiennych (K i L), które wpływają na zmienną objaśnianą.
Z tego powodu istnieją dwa produkty przeciętne:
- produkt przeciętny pracy
AP_L=\frac{Q}{L}- produkt przeciętny kapitału
AP_K=\frac{Q}{K}Funkcja produkcji dwóch zmiennych ma również dwa produkty krańcowe:
- krańcowy produkt kapitału
MP_K
- Krańcowy produkt pracy
MP_L
Obliczenie dokonywane jest za pomocą pochodnych cząstkowych. Pochodne cząstkowe oblicza się względem jednej zmiennej objaśniającej, zakładając, że druga zmienna objaśniająca jest wielkością stałą.
Optymalną kombinację czynników produkcji (pracy i kapitału) wyznacza się z warunku:
-\frac{MP_L}{MP_K}=MRTS=-\frac{P_L}{P_K}Funkcja Cobba-Douglasa – przykładowe zadanie
Funkcja produkcji Cobba-Douglasa dana jest równaniem:
Q=f(K,L)=4K^{0,4}L^{0,6}Jeżeli przedsiębiorstwo zatrudni 2 pracowników, to jaką optymalną wielkość kapitału zatrudni, wiedząc, że cena pracy wynosi 8, a cena kapitału 4?
Rozwiązanie:
Do obliczenia optimum producenta musimy skorzystać z jego algebraicznego warunku, czyli równości stosunku produktywności krańcowych czynników wytwórczych i cen:
\begin{align*}
& \frac{MP_L}{MP_K}=\frac{P_L}{P_K}
\\
& MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 0,4 \cdot 4K^{(0,4-1)}L^{0,6} = 1,6 K^{(-0,6)} L^{0,6} = \frac{1,6 L^{0,6}}{K^{0,6}} \\
\\
& MP_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 0,6 \cdot 4K^{0,4}L^{(0,6-1)} = 2,4 K^{0,4} L^{(-0,4)} = \frac{2,4 K^{0,4}}{L^{0,4}} \\
\\
& \frac{2,4 K^{0,4} L^{(-0,4)}}{1,6 K^{(-0,6)} L^{0,6}} = \frac{8}{4} \\
\\
& \frac{
2{,}4 \, K^{0{,}4} L^{-0{,}4}
}{
1{,}6 \, K^{-0{,}6} L^{0{,}6}
}
\times
\frac{
K^{0{,}6} L^{0{,}4}
}{
K^{0{,}6} L^{0{,}4}
}
=
\frac{8}{4} \\
\\
& \frac{2,4 K}{1,6 L} = \frac{8}{4} \\
\\
& K = \frac{1,6 L \cdot P_L}{2,4 \cdot P_K} = \frac{1,6 \cdot 2 \cdot 8}{2,4 \cdot 4} = 2,67
\end{align*}Podsumowanie – funkcja Cobba-Douglasa
Mamy nadzieję, że po lekturze tego tekstu ewentualne zadania oparte na zagadnieniu funkcji Cobba-Douglasa nie będą sprawiać Wam problemów!
Natomiast jeśli chcecie mieć pewność, że Wasza nauka kompleksowo pokryje wszystkie zagadnienia oraz jej efekty zostaną sprawdzone w formie próbnych zestawów zadań – zgłoście się do nas!
Doświadczony zespół EduFactory od wielu lat pomaga w dostaniu się na studia magisterskie SGH!
Sprawdź także nasze inne artykuły o rekrutacji na studia magisterskie SGH:
- Studia magisterskie SGH – Niezbędnik Kandydata
- Jak dostać się na studia magisterskie SGH?
- 5 sposobów na skuteczną naukę ekonomii
- Sprawdzian wiedzy o gospodarce – najważniejsze zagadnienia modułu ogólnego 1/5 – funkcja Cobba-Douglasa
- Sprawdzian wiedzy o gospodarce – najważniejsze zagadnienia modułu ogólnego 2/5 – próg rentowności
- Sprawdzian wiedzy o gospodarce – najważniejsze zagadnienia modułu ogólnego 3/5 – dylemat więźnia
- Sprawdzian wiedzy o gospodarce – najważniejsze zagadnienia modułu ogólnego 4/5 – operacje na PKB
- Sprawdzian wiedzy o gospodarce – najważniejsze zagadnienia modułu ogólnego 5/5 – mnożnik keynesowski
